ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರುವ , - ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ⁡ [ 1 2 ( − 1 ) ] {\ \ \[{\ {1}{2}}\(-{\ {1}{}}\)\]} ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಯ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ ಘಾತಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ನ ಗುಣಕವನ್ನು () ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. (-1) - ಗುಣಕವೂ () ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ⁡ [ 1 2 ( − 1 ) ] = 0 ( ) + 1 ( ) + ⋯ + ( ) + ⋯ {\ \ \[{\ {1}{2}}\(-{\ {1}{}}\)\]=J_{0}()+tJ_{1}()+\ +^{}J_{}()+\ } − − 1 1 ( ) + − 2 2 ( ) + ⋯ + ( − 1 ) − ( ) + ⋯ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -^{-1}J_{1}()+^{-2}J_{2}()+\ +(-1)^{}^{-}J_{}()+\ } ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ( ) ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ ( ) = 2 ! { 1 − 2 2 2 .1 ( + 1 ) + 4 2 4 .1 .2 . ( + 1 ) ( + 2 ) − ⋯ ⋯ } {\ J_{}()={\ {x_{}}{2^{}!}}\\{1-{\ {^{2}}{2^{2}.1(+1)}}+{\ {^{4}}{2^{4}.1.2.(+1)(+2)}}-{\ {\ }{\ }}\\}} ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ =1- ಆದರೆ ( ) = ∑ = ∞ ( − 1 ) ( 1 2 ) 2 − ! ( − ) ! {\ J_{}()=\ _{=}^{\ }{\ {(-1)^{}\({\ {1}{2}}\)^{2r-}}{!(-)!}}} = ∑ = 0 ∞ ( − 1 ) + ( 1 2 ) + 2 ( + ) ! ! {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ _{=0}^{\ }{\ {(-1)^{+}\({\ {1}{2}}\)^{+2s}}{(+)!!}}} ...............(2) ಇದರಿಂದಲೂ -() = (-1)() ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು -() ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಅಭಿಸರಣ (ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು - ಗಳನ್ನು ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಗುಣಕಗಳು ( ) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಇಲ್ಲಿ , ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಬೇರೊಂದು ಪ್ರತೀಕ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತ ( ) = ∑ = 0 ∞ ( − 1 ) π ( + ) π ( ) ( 2 ) + 2 {\ J_{}()=\ _{=0}^{\ }{\ {(-1)^{}}{\ (+)\ ()}}\({\ {}{2}}\)^{+2s}} .............(3) − ( ) = ∑ = 0 ∞ ( − 1 ) π ( − + ) π ( ) ( 2 ) − + 2 {\ J_{-}()=\ _{=0}^{\ }{\ {(-1)^{}}{\ (-+)\ ()}}\({\ {}{2}}\)^{-+2x}} ..............(4) ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ π() ಎಂಬುದು ಗೌಸನ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆಯಿಲರನ ಗ್ಯಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ π() = Γ(+1). ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು - ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಮತ್ತು - ಗಳೇ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಡಬಹುದು: 2 2 + 1 + ( 1 − 2 2 ) = 0 {\ {\ {^{2}}{^{2}}}+{\ {1}{}}{\ {}{}}+\(1-{\ {^{2}}{^{2}}}\)=0} ................(5) ಎಂಬುದು ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ ( ) ಒಂದು ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ (' ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ = () + -()..............(6) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ , ಯಾವುವೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಈ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು - ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ (3), (4) ಅನಂತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ ನ ಬೆಲೆ (1) ರಲ್ಲಿರುವ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದರೆ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ - ಶ್ರೇಣಿ ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. ಇದರಂತೆಯೇ ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಶ್ರೇಣಿ - ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. =0 ಆದಾಗ ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳೂ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ () ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದಾದರೂ ಧನ ಪೂಣಾಂಕವಿರುವ ಗೆ ಅತಿಶಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಉಂಟು. ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವ್ಯಾಪಕತ್ವ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. == ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು == () ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಿವು. ಪೂಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. 0 ( ) = 1 − 2 2 2 + 4 2 2 .4 2 − 6 2 2 .4 2 .6 2 + ⋯ {\ J_{0}()=1-{\ {^{2}}{2^{2}}}+{\ {^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\ {^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\ } − 1 ( ) + + 1 ( ) = 2 ( ) {\ J_{-1}()+J_{+1}()={\ {2n}{}}J_{}()} . ಇದಕ್ಕೆ ನ ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸೂತ್ರ ( ) ಎಂದು ಹೆಸರು. -1 ಮತ್ತು ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಉತ್ಪನ್ನ +1 ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ′ ( ) = ( ) − + 1 ( ) {\ J_{}'()={\ {}{}}J_{}()-J_{+1}()} ′ ( ) = 1 2 { − 1 ( ) − + 1 ( ) } {\ J_{}'()={\ {1}{2}}\{J_{-1}()-J_{+1}()\}} ′ ( ) = − 1 ( ) − ( ) {\ J_{}'()=J_{-1}()-{\ {}{}}J_{}()} 1 2 ( ) = 2 1 2 1 2 π 1 2 { 1 − 2 2.3 + 4 2.3.4.5 − ⋯ } = ( 2 π ) 1 2 ⁡ {\ J_{\ {1}{2}}()={\ {2^{\ {1}{2}}^{\ {1}{2}}}{\ _{\ {1}{2}}}}\\{1-{\ {^{2}}{2.3}}+{\ {^{4}}{2.3.4.5}}-\ \\}=\({\ {2}{\ }}\)^{\ {1}{2}}\ } + 1 2 ( ) = ( − 1 ) ( 2 ) + 1 2 π 1 2 × ( 2 ) ( ⁡ ) {\ J_{+{\ {1}{2}}}()=(-1)^{}{\ {(2x)^{+{\ {1}{2}}}}{\ ^{\ {1}{2}}}}\ {\ {^{}}{(^{2})^{}}}\({\ {\ }{}}\)} , = ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ. ⁡ = 0 ( ) − 2 2 ( ) + 2 4 ( ) − ⋯ {\ \ =J_{0}()-2J_{2}()+2J_{4}()-\ } , ⁡ = 2 1 ( ) − 2 3 ( ) + 2 5 ( ) − ⋯ {\ \ =2J_{1}()-2J_{3}()+2J_{5}()-\ } ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ, ( ) = 1 π ∫ 0 π ( ⁡ θ − ⁡ θ ) θ {\ J_{}()={\ {1}{\ }}\ _{0}^{\ }(\ \ -\ \ )\ } ∫ 0 ∞ − 0 ( ) = ( 2 + 2 ) − 1 2 {\ \ _{0}^{\ }^{-}J_{0}()=(^{2}+^{2})^{-{\ {1}{2}}}} − − − = 2 π ⁡ π {\ J_{-}\ {\ {dJ_{}}{}}-J_{}\ {\ {dJ_{-}}{}}={\ {2}{\ }}\ \ } ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಅವಕಲನಾಂಕವಿರುವ ( ) ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನ () ನ್ನು (0,π) ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು: ( ) = 0 + 1 0 ( ) + 2 0 ( 2 ) + ⋯ {\ ()=a_{0}+a_{1}J_{0}()+a_{2}J_{0}(2x)+\ } ಇಲ್ಲಿ 0 = ( 0 ) + 1 π ∫ 0 π ∫ 0 1 2 π ′ ( ⁡ θ ) θ {\ a_{0}=(0)+{\ {1}{\ }}\ _{0}^{\ }\ _{0}^{{\ {1}{2}}\ }'(\ \ )\ } 0 = 2 π ∫ 0 π ⁡ ∫ 0 1 2 π ′ ( ⁡ θ ) θ , > 0 {\ a_{0}={\ {2}{\ }}\ _{0}^{\ }\ \ \ _{0}^{{\ {1}{2}}\ }'(\ \ )\ \ ,>0} == ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳು == φ() = 0 ಆಗುವಂಥ ಯಾವುದೇ ನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ( ) ಎಂದು ಹೆಸರಿದೆ. ಪ್ರೌಢವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಗುಣಗಳಿವೆ. ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ () ಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಳೂ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳು. () ನ ಎರಡು ಧನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವೆ +1() ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ -1() ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ , -1 ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ. > 1 2 {\ >{\ {1}{2}}} ಆದಾಗ () ಆಸನ್ನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿ π ಗಿಂತ ಅಧಿಕ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿಯನ್ನು π ಗಿಂತ ಕೋರಿದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಮೀರುವಂತೆ ಆಯಬಹುದು. ಧನ -ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ π ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ () ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ. ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಕ್ತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಇದರಿಂದ ಎಂಬ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವೆವು. =0 ಆದಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರ 0 = 0 ⁡ + 2 { 2 − 1 2 4 + 1 3 6 − 1 4 8 + 1 5 10 − ⋯ } {\ y_{0}=J_{0}\ +2\\{J_{2}-{\ {1}{2}}J_{4}+{\ {1}{3}}J_{6}-{\ {1}{4}}J_{8}+{\ {1}{5}}J_{10}-\ \\}} ಆದ್ದರಿಂದ, 2 2 + 1 + = 0 {\ {\ {^{2}}{^{2}}}+{\ {1}{}}{\ {}{}}+=0} ಎಂಬ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ = AJ೦ + By೦ ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ = + ಇಲ್ಲಿ, = ⁡ − ∑ = 1 ∞ ( − 1 ) + 2 ( + ) + 2 {\ y_{}=\ -\ _{=1}^{\ }(-1)^{}{\ {+2r}{(+)}}J_{+2r}} − 1 2 π ( ) ∑ = 0 − 1 1 − ( 2 ) − π ( ) {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -{\ {1}{2}}\ ()\ _{=0}^{-1}{\ {1}{-}}\({\ {2}{}}\)^{-}{\ {J_{}}{\ ()}}} y0, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು =0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. == ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು == == ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == == ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು ==